N°80 Page 182

a) $\textcolor{#caa7ff}{\dfrac{3^n - 1}{2}}$ est un entier si et seulement si $\textcolor{#caa7ff}{3^n - 1}$ est divisible par $\textcolor{#caa7ff}{2}$. Or :

$$\textcolor{#caa7ff}{
3 \equiv 1 \pmod{2}
\iff
3^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{2}
\iff
3^n - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{2}
}$$

Donc :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{
\forall n \in \mathbb{N}^* \quad 3^n - 1 \equiv 0 \pmod 2
}
}$$

$\textcolor{#caa7ff}{u_n}$ est donc un entier pour tout $\textcolor{#caa7ff}{n}$ de $\textcolor{#caa7ff}{\mathbb{N}^*}$

b)

$$\textcolor{#caa7ff}{
3u_n + 1
= 3 \times \dfrac{3^n - 1}{2} + \dfrac{2}{2}
= \dfrac{3^{n+1} - 3 + 2}{2}
= \dfrac{3^{n+1} - 1}{2}
= u_{n+1}
}$$

c)

$$\textcolor{#caa7ff}{
u_{n+1} = 3u_n + 1
\iff
(1)u_{n+1} + (-3)u_n = 1
}$$

Donc :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\exists (x;y) \in \mathbb{Z}^2 \text{ tel que } xu_n + yu_{n+1} = 1
}$$

Donc :

$$\textcolor{#caa7ff}{
\boxed{
u_n \text{ est premier à } u_{n+1}
}
}$$